Makalah Kalkulus dan Fungsi

MAKALAH KALKULUS II

FUNGSI

 

 

 DISUSUN OLEH :

HANIFA NOFITA ULFASARI 1141720012

KIKI PUTRI AGUNG 1141720016

DOSEN PEMBIMBING : MATSUANI, S.Pd. M.Pd.

TEKNIK KIMIA

PROGRAM EKSTENSI KELAS KARYAWAN

INSTITUT TEKNOLOGI INDONESIA

SERPONG, TANGERANG SELATAN

2018

 

 

KATA PENGANTAR

 

Assalamu’alaikum Wr. Wb

Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya tulis dengan judul Makal Kalkulus II Fungsi.

Dalam pengerjaan karya tulis penulis mengerjakan dengan penuh semangat disela-sela padatnya pekerjaan yang dilakukan penulis karena selama pengerjaan, penulis bekerja hingga malam dikarenakan pekerjaan yang cukup padat dan beda jam kerja dengan rekan sekelompok. Walaupun hanya memiliki waktu yang singkat, penulis berusaha membagi waktu agar karya tulis selesai tepat waktu.

Dalam menulis karya tulis ini saya mendapatkan bantuan dari penjelasan Bapak Matsuani selaku dosen pembimbing. Tidak lupa Ayah dan Ibu yang senantiasa memberikan semangat via telepon, agar penulis tetap semangat dalam mengerjakan tugas.

Dalam penyelesaian karya tulis ini penulis mendapat banyak bantuan, pada kesempatan ini penulis ucapkan banyak terima kasih kepada:

  1. Bapak Matsuani, S.Pd., M.Pd. selaku dosen pembimbing dalam mata kuliah Kalkulus atas perhatian dan arahannya kepada penulis dalam mengerjakan karya tulis.
  2. Ibu, Ayah dan keluarga yang senantiasa mendoakan dan memberikan motivasi kepada penulis yang sedang merantau sendiri.
  3. Rekan-rekan prodi Teknik Kimia dan tahun ajaran 2017/2018 yang sudah membantu dan ikut berdiskusi dengan senang hati mengenai masalah dalam pengerjaan karya tulis.
  4. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang secara langsung maupun tidak langsung telah mendukung dan membantu penulis dalam mengerjakan karya tulis ilmiah ini dengan baik.

 

 

 

 

DAFTAR ISI

 

KATA PENGANTAR.. 2

DAFTAR ISI. 4

BAB I PENDAHULUAN.. 5

  1. Latar Belakang. 5
  2. Rumusan Masalah. 5
  3. Tujuan. 6
  4. Metode Penelitian. 6

BAB II PEMBAHASAN.. 7

  1. Fungsi dan Penyajian Fungsi 7
  2. Macam-Macam Fungsi 7
  3. Operasi pada Fungsi 8
  4. Mencari Domain dalam Fungsi 9
  5. Mencari grafik fungsi 11
  6. Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari 15

BAB III PENUTUP.. 17

  1. Kesimpulan. 17
  2. Saran. 17

DAFTAR PUSTAKA.. 18

 

 

 

 

BAB I

PENDAHULUAN

 

A.    Latar Belakang

Mata kuliah kalkulus di perguruan tinggi merupakan sumber nilai dan pedoman dalam pengembangan dan penyelengaraan program studi, guna mengantarkan mahasiswa memantapkan kepribadiannya sebagai manusia seutuhnya. Hal ini berdasarkan pada suatu realitas yang dihadapi, bahwa mahasiswa adalah sebagai generasi bangsa yang harus memilki visi inteletual, religius, berkeadaban, berkemanusiaan dan cinta tanah air dan bangsanya.

Selain itu, kalkulus adalah mata kuliah yang berguna untuk membantu mahasiswa memantapkan kepribadiannya, agar secara konsisten mampu mewujudkan nilai-nilai dasar matematika untuk menerapkan. mengembangkan bakat dan keahlian (skill), karena ilmu ini bisa membawa kita menuju masa depan yang cerah dan mempunyai rasa tanggung jawab dan bermoral.

 

B.     Rumusan Masalah

Dalam pembuatan makalah ini kami mengangkat beberapa rumusan masalah diantaranya:

  1. Apa yang di maksud dengan fungsi dan penyajian fungsi?
  2. Apa saja macam-macam fungsi?
  3. Bagaimana mencari domain dalam fungsi?
  4. Bagaimana menggambar grafik dalam fungsi?
  5. Apa saja penerapan fungsi dalam kehidupan sehari-hari?

 

C.     Tujuan

  1. Tujuan umum

Untuk memenuhi tugas yang diberikan oleh Bapak Matsuani, S.Pd, M.Pd selaku dosen mata kuliah kalkulus.

  1. Tujuan Khusus
Baca Juga  Etika Profesi Keguruan

Tujuan pembuatan makalah ini pada hakekatnya merupakan suatu yang hendak dicapai, yang jadi arahan atas apa yang harus di lakukan dalam pembuatan makalah. Adapaun tujuan pembuatan makalah untuk mengetahui dan memaparkan tentang fungsi dan grafik.

 

D.    Metode Penelitian

Metode penulisan ini berdasarkan studi pustaka dari buku-buku dan literatur yang berhubungan dengan pembahasan dan internet.

 

 

BAB II

PEMBAHASAN

 

A.    Fungsi dan Penyajian Fungsi

Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil (Range). Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, diantaranya:

  1. Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.
  2. Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.
  3. Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi dilambangkan dengan Rf.

Karena fungsi merupakan bentuk dari relasi, maka cara menyajikannya sama saja dengan cara penyajian relasi. Fungsi dapat disajikan dalam bentuk diagram panah, diagram kartesius, dan juga himpunan pasangan berurut.

B.     Macam-Macam Fungsi

  1. Fungsi tangga (bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

  1. Fungsi ganjil dan fungsi genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

  1. Fungsi kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola

  1. Fungsi Polinomial

Fungsi Polinomial adalah fungsi f yang dinyatakan dalam bentuk :

f(x) = an x n + an-1 x n-1 + ……. A2 x 2 + a1 x a0

Jika n = 1 maka terbentuk fungsi linier (grafiknya berbentuk garis lurus). Jika n = 2 maka terbentuk fungsi kuadrat( grafiknya berbentuk parabola).

  1. Fungsi modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

  1. Fungsi logaritma

Fungsi ini berperan pada persoalan-2 statistik dan probabilitas. Dan lebih banyak kepada persoalan-2 diskrit. Contoh: bagaimana mengatur agar antrian pembelian bensin sedemikian sehingga pada saat-2 tertentu pegawai pelayanan diperbanyak. Misal pada pembayaran rekening listrik, para konsumen lebih banyak membayar pada akhir tagihan daripada awal-awal penagihan. Sangat bijak manajer mengatur agar pada hari-2 terakhir pegawainya hrus membantuk bagian kasir untuk melayani konsumen.

 

  1. Operasi pada Fungsi
    Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali fg, hasil bagi f/g dan perpangkatan fn adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa irisan dari daerah asal f dan daerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.

    (f + g)(x) = f (x) + g(x)
    (f – g)(x)          = f (x) – g(x)
    (f g)(x)             = f (x) g(x)
    (f / g)(x)           = f (x) / g(x) asalkan g(x) ≠ 0

Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut.
Jika f dan g dua fungsi dengan daerah asal g merupakan daerah hasil f maka komposisi g o f memenuhi
(g o f)(x) = g (f(x))
Contoh
Jika f(x) = x2 – 2x dan g(x) = x – 1, tentukan g o f dan f o g.
Penyelesaian:

  1. (g o f)(x) = g (f(x))
Baca Juga  Makalah Kisah Nabi Muhammad SAW Lengkap

= g (x2 – 2x)

= x2 – 2x – 1

  1. (f o g)(x) = f (g(x))

= f (x – 1)

= (x – 1)2 – 2(x – 1)

= x2 – 2x + 1 – 2x + 2

= x2 – 4x + 3

D.    Mencari Domain dalam Fungsi

Materi selanjutnya tentang daerah asal atau domain suatu fungsi, sekarang kita akan mempelajari dari daeerah hasil atau range. Setelah kita mengetahui semua nilai x yang dapat diinputkan ke dalam fungsi  f(x), maka fungsi f(x) akan menghasilkan output berupa nilai yang dinamakan daerah hasil. Daerah hasil dari fungsi f(x) dinotasikan dengan Rf atau lebih jelasnya dapat kita lihat dalam gambar berikut

Misalkan diberikan suatu fungsi f(x). Untuk menentukan daerah hasil fungsi tersebut tanpa melihat grafik tidak akan semudah menentukan daerah asal. Untuk menentukan daerah hasilnya kita harus terlebih dahulu mengubah fungsi asal f(x) ke dalam bentuk inversnya (yang nanti akan kita pelajari di materi Fungsi Transenden). Di sini kita hanya akan membahas bagaimana cara menentukan daerah hasil dari fungsi dengan menggunakan grafik.

Contoh soal mencari domain

  1. Carilah domain dan range dari fungsi :

f(x) =

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah

3x + 1        ≠ 0

x                ≠

 

Sehingga

Di = (-∞ ,  ) ᴗ(, ∞ )

  1. Carilah domain dan range dari fungsi :

f(x) =

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah

-x2 – 5x – 6 ≥ 0       ↔ x2 + 5x + 6             ≤ 0

↔ ( x + 2 )( x + 3 )      ≤ 0

-3

 

E.     Mencari grafik fungsi

Sebanarnya ada cara yang dapat digunakan untuk menentukan gambaran umum dari grafik sebuah persamaan kuadrat dengan cara melihat nilai determinannya. Nilai Determinan dari sebuah fungsi kuadrat adalah . Determinan dapat digunakan untuk menyelidiki berapa banyak akar yang dimiliki sebuah persamaan kuadrat. Selain itu, determinan dapat digunakan untuk menentukan jenis akar yang dimiliki suatu persamaan kuadrat.
Karakteristik grafik berdasarkan nilai determinan :

  1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada dua titik).
  2. Jika D = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada satu titik).
  3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer/tidak real/akar negatif (artinya, grafik tidak memotong sumbu x).

Nilai (koefisien dari ) dapat memberi gambaran grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas atau ke bawah. Karakteristik grafik berdasarkan nilai :

  1. Jika a > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.
  2. Jika a < 0 maka grafik akan terbuka ke bawah.

Gambaran umum Grafik fungsi kuadrat jika dilihat dari nilai dan

Untuk menggambar grafik secara lebih detailnya dapat disimak dalam langkah-langkah berikut. Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

  1. Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0).
  2. Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0).
  3. Menentukan sumbu simetri .
  4. Menentukan titik puncak (, ) atau hitung nilai puncak y menggunakan substitusi/mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan nomor 3 ke dalam persamaan f(x).

Empat langkah tersebut sudah dapat digunakan untuk menggambar grafik persamaan kuadrat, jika perlu bisa menambahkan beberapa titik koordinat bantu. Berikut cara megerjakan unutk mencari grafik fungsi

Gambarkan grafik fungsi y = x2 – 1.

Baca Juga  Makalah Gunung Berapi Lengkap

Penyelesaian:

Diketahui fungsi y = x2 – 1 dengan a = 1, b = 0, c = -1.

  1. Titik potong sumbu xdengan syarat y = 0.

y = x2 – 1   ⇔ 0 = x2 – 1

⇔ (x + 1) (x – 1) = 0

⇔ x = -1 atau x = 1

∴ Titik potong sumbu x adalah (-1, 0) dan (1, 0).

 

  1. Titik potong sumbu ydengan syarat x = 0.

y = x2 – 1        ⇔ y = 0 – 1

⇔ y = -1

∴ Titik potong sumbu y adalah (0, -1).

  1. Titik balik

xp=

yp =

∴ Titik baliknya adalah (0, -1)

Ini berarti, titik baliknya sama dengan titik potong fungsi dengan sumbu y.

  1. Hubungkan titik-titik yang diperoleh pada bidang Cartesius, sehingga terbentuk grafik yx2 – 1 seperti di bawah ini.

 

F.      Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari

Dalam kehidupan sehari-hari banyak contoh-contoh penerapan fungsi, misalnya padapermainan bola basket bahwa pemain berusaha memasukkan bola ke keranjang denganpelemparan tidak lurus tetapi dilemparkan ke atas melampaui tempat jaringnya menujujaringnya dengan lintasan bolanya berbentuk parabola, bagaimana menentukan ukuranlipatan talang seng agar talangnya dapat mengalirkan air sebanyak mungkin, dan sebagainya. Bagaimana memecahkan masalah, misalnya perhatikan contoh berikut ini :

Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari dengan kawat untuk kandang ayam. Pagar kawat yang tersedia 400 m, dan kandang itu dibuat berbentuk persegi panjang. Tentukanlah ukurannya agar terdapat kandang yang seluas-luasnya.

Penyelesaian:

Misalkan lebar kandang x meter, maka panjangnya (400 – 2x) meter. Luas kandang dalam m2 adalah

L = x (400 – 2x) = 400x – 2x2

Dari persaman luas tersebut yang berbentuk fungsi kuadrat dapat ditentukan nilai ekstremnya sebagai berikut :

L = 400x – 2×2

= – 2×2 + 400x

= – 2( x – 100 )2 + 20000

Agar luas kandang maksimum maka x – 100 = 0 atau x = 100. Sehingga untuk x =100 terdapat luas kandang maksimum L =20.000

Jadi luas maksimum yang ditanyakan adalah 20.000 m2 yang terjadi jika lebarnya 100 m dan panjangnya 200 m.

 

 

BAB III

PENUTUP

 

A.    Kesimpulan

Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Menggambar grafik fungsi dapat ditentukan apabila dapat menentukan dari nilai determinan.

Penerapan fungsi dalam kehidupan sehari-hari ternyata memiliki banyak peranan yang dapat diterapkan, sehingga dengan penerapannya pun dapat membantu untuk mempermudah pengerjaan dalam kehidupan sehari-hari.

B.     Saran

Berdasarkan pencarian materi dan memahami materi, alangkah lebih baiknya diperbanyak sumber-sumber yang membahas materi fungsi dan dapat dipraktikan dalam kehidupan sehari-hari agar pelajar mudah untuk memahami dan mengaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.

 

 

DAFTAR PUSTAKA

 

  • Areka, Wahid. 2016. Makalah Kalkulus. http://makalahwayboy.blogspot.co.id/2016/09/fungsi-dan-grafik.html. Tanggal akses 02 Mei 2018.
  • IdSchool. 2017. Langkah-langkah Menggambar Grafik Fungi Kuadrat. http://idschool.net/sma/matematika-sma/cara-menggambar-grafik-fungsi-kuadrat/ . Tanggal akses 10 Mei 2018
  • Kanginan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika. Bandung. Grafindo Media Pratama.
  • Martono, Koko. 1999. Kalkulus. Jakarta. Erlangga.
  • Raditya. 2012. Contoh Penerapan Fungsi Dalam Kehidupan Sehari-hari. https://aditya067.wordpress.com/2012/01/09/contoh-penerapan-fungsi-dalam-kehidupan-sehari-hari/. Tanggal Akses 08 Mei 2018.

 

 

0 replies

Leave a Reply

Want to join the discussion?
Feel free to contribute!

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.